Matematikte kanıt (belgit, ispat), ilgilenilen bir önermenin, belirli aksiyomlar esas alınarak, doğru olduğunu gösterme yöntemidir.
Matematiksel kanıtta mantık kullanılır ancak genellikle bir ölçüde doğal dilden de yararlanılır ve dolayısıyla bir parça belirsizlik içerir. Gerçektende matematikte yazılan kanıtların büyük çoğunluğu informel mantığın uygulaması olarak kabul edilebilir. Tamamıyla formel kanıtların ele alındığı kanıtlama teorisi bağlamında, bu tip tamamıyle formel olmayan kanıtlamalara "sosyal kanıtlama" denir. Bu ayrım, günümüz ve geçmiş matematiksel uygulamaların, matematikte yarı görgücülüğün ve matematik folklorünün yoğun olarak incelenmesine yol açmıştır. Matematik felsefesi ise dilin ve mantığın kanıtlardaki rölü ve "dil olarak matematik" ile ilgilidir.
Kişinin formalizme olan yaklaşımından bağımsız olarak, doğru olduğu kanıtlanan sonuca teorem denir. Bu teorem, tamamıyla formel olan bir kanıtta son satırda yer alır ve kanıtın tümü, bu teoremin aksiyomlardan nasıl türetildiğini gösterir. Bir teorem kanıtlandıktan sonra başka önermeleri kanıtlamada kullanılabilir. Matematiğin temelleri adı verilen önermeler kanıtlanamayan ya da kanıtlanması gerekmeyen önermelerdir. Bunlar bir zamanlar matematik felsefecilerinin başlıca uğraşı alanıydı. Günümüzde ilgi odağı daha çok matematiksel uygulamalara, yani kabul edilebilir matematiksel tekniklere kaymıştır.
Bazı kabul görmüş kanıtlama teknikleri:
Doğrudan kanıtlama: Sonucun, aksiyomlar, tanımlar ve daha önceki savların mantıksal olarak birleştirilmesiyle elde edildiği yöntem.
Tümevarımla kanıtlama: Temel bir durumun kanıtlandığı ve bir tümevarım kuralı kulanılarak çok sayıda (sıkça sonsuz olan) başka durumların kanıtlandığı yöntem.
Olmayana ergi kanıtı (Reductio ad absurdum olarak da bilinir): Bir özelliğin doğru olması durumunda mantıksal bir çelişkinin doğacağı dolayısıyla özelliğin yanlış olduğunun gösterildiği yöntem.
Oluşturarak kanıtlama: İstenen özelliğe sahip somut bir örnek oluşturularak istenen özellikte bir nesnenin var olduğunun gösterildiği yöntem.
Tüketerek kanıtlama: Kanıtlanacak önermenin sonlu sayıda duruma bölünerek her birinin ayrı ayrı kanıtlandığı yöntem.
Olasılıkçı kanıtlama, olasılık teorisi yardımıyla istenen özellikte bir örneğin var olduğunun gösterildiği bir kanıtlama olarak anlaşılmalıdır, yani bir teoremin doğru "olabileceği" şeklinde değil. Bu ikinci türdeki uslamlamalara 'usayatkınlık kanıtı' denebilir; Collatz sanısı örneğinde bunun gerçek bir kanıtlamadan ne kadar uzak olduğu aşikardır. Olasılıkçı kanıtlama -oluşturarak kanıtlama dışında- varlık teoremlerini kanıtlamanın birçok yönteminden biridir.
Örneğin "f(X)'i sağlayan en az bir X var" önermesini kanıtlamaya çalışıyorsanız, bir varlık ya da oluşturmacı olmayan kanıt f(X)'i sağlayan bir X olduğunu kanıtlar fakat bu X'in nasıl elde edileceğini göstermez. Buna karşın oluşturmacı bir kanıt X'in nasıl elde edildiğini de gösterir.
Doğru olduğu düşünülen fakat henüz kanıtlanmayan bir önerme sanı (konjektür) olarak bilinir.
Bazı durumlarda, belirli bir önermenin verili bir aksiyomlar kümesinden kanıtlanamayacağı kanıtlanabilir; bkz. örneğin süreklilik hipotezi. Aksiyom sistemlerinin çoğunda, ne kanıtlanabilen ne de kanıtlanamayan önermeler bulunur (bkz. Gödel'in eksiklik kuramı)
Kaydol:
Kayıt Yorumları
(
Atom
)
0 yorum:
Yorum Gönder